解读Dex中的无常损失：原理、机制、公式推导

本文源于十四正在撰写的《UniSwap 从V1到V3的去中心化交易所之路》中用作资料援引，也发现市面文章的推导公式都颇为复杂，且重要逻辑转换缺乏描述，而无常损失又是 Dex 中 AMM 的重要部分，故单独成文。

如读者对无常损失以及对应影响有兴趣的，亦可直接跳转文末阅读白话版本。

本文推导基于 AMM 经典恒积公式

AMM 机制简介可阅读：一文讲清-NFT市场新秀 SudoSwap 的 AMM 机制-创新挑战与局限

部分公式中虚线系公式编辑器误操作，无实际意义

如需 word 源文档可在公众号后台回复“无常损失”获取

Part 1: 计算初始持有价值

假定我持有若干 e 0(ETH) 以及若干 t 0(Token)，初始两者价值相等，如 1 e 0 = 10 t 0 ，用公式表达其 token 的价格（用 ETH 本位计）则 p 0 为:

则我持有的总价值（用 ETH 计）等于数量*价格为:

如果未进行Uniswap注入 Lp 的行为，则未来即使 token 对比 Eth 的价值变动，产生了新的价格，则我介时的资产总值 VH 为:

Part 2 ：为 UniSwap 注入流动性

我们可以将 ETH 和代币两者按一定比例注入流动性，这里方便计算假定为按总值各占 50% 的注入，流动性池会给我们 Lp 的凭证，如 10 个 LpToken 用于证明我们占据当前总流动性的分红权益股份。由于恒积公式，只有注入和抽离 LP 会改变 K 值（本文中均不算手续费收入）

所以可以推导出计算当前 e 1 的数量公式：

最终

如此综合计算我们可以提取的流动性价值 VU 是

此处得出 VU 的将构成后续无常损失部分的被减数，因此特地为 VU 推导了上诉的两个采用 e 1 以及不采用 e 1 的公式

Part 3 ：无常损失公式推导

依据 Part 1 我们得出了保持持有当前 token 的价值 VH，

依据 Part 2 我们得出了不用持有而是投入 Uniswap 做 LP 的总价值 VU，

显而易见：Divergence loss（无常损失或者发散损失）应该是 VD

由于价值涨跌应该依据其对于原始价值的比值，所以我们把等式两边都除以 VH

此处带入上文 Part 1 和 2 结论中的 VH 与 VU 详细公式

所以无常损失率 VD/VH  为：

这时最关键的一步，无常损失发生在有价格差的两个时间段上，所以我们来带入价格的变化率 R，其等于两个时间的价格相除

结合 Part 1 中的公式

所以 R 也等于

结合无常损失率 VD/VH  我们将核心部分都乘以 e 0 来形成只有 R 的最终公式

这样则可以化简出只有 R 来表示的无常损失率